Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого равны 9 см и 4 см, а тупой угол равен 120°. Высота призмы равна 7 см. Вычисли большую диагональ призмы и тангенс угла, который образован этой диагональю и плоскостью основания.

Для решения задачи найдем пошагово необходимые величины:

1. Площадь основания призмы

Основание призмы — параллелограмм со сторонами $a = 9$ см и $b = 4$ см, а тупой угол $\alpha = 120^\circ$.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

Подставляем значения:

Известно, что $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда:

2. Диагональ основания параллелограмма

Диагонали параллелограмма находятся по формуле:

Нас интересует большая диагональ. Угол $120^\circ$ тупой, поэтому $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Подставляем для большей диагонали:

Упрощаем:

3. Большая диагональ призмы

Призма прямая, поэтому большая диагональ призмы соединяет два противоположных угла основания и проходит через высоту $h = 7$ см. Используем теорему Пифагора:

Подставляем значения:

4. Тангенс угла между диагональю и плоскостью основания

Обозначим угол между диагональю призмы и плоскостью основания за $\theta$. Тангенс угла $\theta$ определяется как отношение высоты $h$ к проекции диагонали призмы на плоскость основания, то есть к $d$:

Подставляем значения:

Ответ:

• Большая диагональ призмы: $\sqrt{110} \, \text{см}$.
• Тангенс угла: $\tan(\theta) = \frac{7}{\sqrt{61}}$.