Основания трапеции равны 18 и 12 одна из боковых сторон равна 6 а тангенс угла между ней и одним из оснований равен корень из 2/4 найдите площадь трапеции

Для нахождения площади трапеции, где основание равно 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между этой боковой стороной и одним из оснований равен $\frac{\sqrt{2}}{4}$, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Параметры трапеции:

   • Обозначим основания трапеции как $a = 18$ и $b = 12$.
   • Обозначим боковую сторону как $c = 6$.
   • Тангенс угла $\alpha$ между боковой стороной и большим основанием равен $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

2. Высота трапеции: Высота трапеции $h$ может быть найдена из определения тангенса угла:

   $$\tan(\alpha) = \frac{h}{d}$$

   где $d$ — это проекция боковой стороны на основание. Отсюда можем выразить высоту как:

   $$h = d \cdot \tan(\alpha)$$

3. Определение проекции: Проекцию $d$ можно найти, используя теорему Пифагора. Мы знаем, что:

   $$d^2 + h^2 = c^2$$

   или

   $$d^2 + \left(d \cdot \tan(\alpha)\right)^2 = c^2$$

   Подставляем $\tan(\alpha)$:

   $$d^2 + d^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 6^2$$

   Упрощаем:

   $$d^2 + \frac{2}{16}d^2 = 36$$ $$d^2 \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 36$$ $$d^2 \cdot \frac{9}{8} = 36$$ $$d^2 = 36 \cdot \frac{8}{9} = 32$$ $$d = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

4. Находим высоту: Теперь, подставляем $d$ обратно для нахождения $h$:

   $$h = 4\sqrt{2} \cdot \tan(\alpha) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = 2$$

5. Считаем площадь трапеции: Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

   Подставим значения:

   $$S = \frac{(18 + 12) \cdot 2}{2} = \frac{30 \cdot 2}{2} = 30$$

Таким образом, площадь трапеции равна 30 квадратным единицам.