Если n — натуральное число, то n!! равен произведению всех нечётных чисел от 1 до n, если n нечётное, и равно произведению всех чётных чисел от 2 до n, если n чётное. Например, 5!! = 1×3×5, 6!! = 2×4×6.

Найдите остаток при делении на 101 числа 100!! − 99!!.

Рассмотрим оба произведения по модулю $101$:

Заметим, что каждому нечётному числу из второго произведения соответствует чётное число из первого:

и так далее, вплоть до

Поэтому

Всего нечётных чисел от $1$ до $99$ ровно $50$, то есть минус появляется $50$ раз. Поскольку $50$ — чётное число,

Следовательно,

Значит,

Ответ: $\boxed{0}$.