Вычислите неопределённый интеграл: ∫(x dx / √(4 - x²)).

Вычислим неопределённый интеграл:

Решение:

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Шаг 1. Сделаем замену.

Пусть

Найдём дифференциал:

Отсюда:

Шаг 2. Подставим в исходный интеграл.

Получаем:

Шаг 3. Вычислим интеграл.

Используем формулу:

Тогда:

Упрощаем:

Шаг 4. Вернёмся к исходной переменной.

Так как $t=4-x^2$, получаем:

Проверка:

Найдём производную полученного выражения:

Получили исходную подынтегральную функцию, следовательно, интеграл вычислен правильно.

Ответ:

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования, $-2$.