Вычислите производную функции: y = arccos(2x - 1).

Найдём производную функции:

Шаг 1. Вспомним формулу производной арккосинуса.

Производная сложной функции вида $y=\arccos(u)$ вычисляется по формуле:

Здесь $u$ — функция от $x$, а $u'$ — её производная.

Шаг 2. Найдём производную внутренней функции.

В нашем случае:

Тогда:

Шаг 3. Подставим полученные значения в формулу.

Шаг 4. Упростим выражение.

Раскроем квадрат разности:

Следовательно:

Приведём подобные слагаемые:

Вынесем множитель 4 из-под корня:

Сократим на 2:

Шаг 5. Определим область существования производной.

Функция $\arccos(2x-1)$ определена при условии:

Отсюда:

Однако производная существует только при положительном подкоренном выражении в знаменателе:

Следовательно, $0$.

Ответ:

Таким образом, производная функции $y=\arccos(2x-1)$ равна $-\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$. Она отрицательна на всей области своего существования, поэтому исходная функция строго убывает на отрезке $[0;1]$.