Вычислить площадь фигуры ограниченной параболой y=4x-x^2, y=4-x
Даю все баллы

Решение:

Дана фигура, ограниченная параболой:

и прямой:

Найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

1. Найдём точки пересечения графиков.

Приравняем функции:

Перенесём всё в одну сторону:

Умножим уравнение на $-1$:

Разложим на множители:

Получаем:

Значит, пределы интегрирования: от 1 до 4.

2. Определим, какая функция расположена выше.

На отрезке $[1;4]$ парабола $y=4x-x^2$ расположена выше прямой $y=4-x$.

Поэтому площадь фигуры вычисляется по формуле:

Подставим наши функции:

Раскроем скобки:

3. Вычислим определённый интеграл.

Найдём первообразную:

Подставим верхний и нижний пределы:

Вычислим первое выражение:

Вычислим второе выражение:

Теперь найдём разность:

Приведём к общему знаменателю:

Ответ: