Помогите пожалуйста:

1) найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=4 х=6, осью ох и графиком функции у=7-х
2) найти площадь фигуры ограниченной осью ох и параболой у= х^2+3х
3) найти площадь фигуры, ограниченной пораболой у= -х^-4х, прямой у=х+4 и осью ох

1. Фигура ограничена прямыми \( x = 4 \), \( x = 6 \), осью \( Ox \) и графиком \( y = 7 - x \).

На отрезке от \( 4 \) до \( 6 \) функция положительна, поэтому площадь:

\[ S = \int_4^6 (7 - x)\,dx \]

\[ S = \left(7x - \frac{x^2}{2}\right)_4^6 = (42 - 18) - (28 - 8) = 24 - 20 = 4 \]

Ответ: \( S = 4 \).

2. Найдём точки пересечения параболы \( y = x^2 + 3x \) с осью \( Ox \):

\[ x^2 + 3x = 0 \]

\[ x(x + 3) = 0 \]

\[ x = 0, \quad x = -3 \]

На отрезке \( [-3; 0] \) парабола находится ниже оси \( Ox \), поэтому берём модуль:

\[ S = -\int_{-3}^{0} (x^2 + 3x)\,dx \]

\[ S = -\left(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right)_{-3}^{0} = \frac{9}{2} \]

Ответ: \( S = \frac{9}{2} \).

3. В условии, скорее всего, есть ошибка: записано \( y = -x^-4x \), но такая запись неоднозначна. Нужно уточнить формулу параболы.

Если имелось в виду \( y = -x^2 - 4x \), то эта парабола пересекает ось \( Ox \) в точках \( x = -4 \) и \( x = 0 \), а прямая \( y = x + 4 \) проходит через точку \( (-4; 0) \). Тогда площадь фигуры равна:

\[ S = \int_{-4}^{-1} \bigl((x + 4) - (-x^2 - 4x)\bigr)\,dx + \int_{-1}^{0} \bigl(0 - (-x^2 - 4x)\bigr)\,dx \]

\[ S = \frac{27}{2} + \frac{11}{6} = \frac{46}{3} \]

Ответ при таком исправлении: \( S = \frac{46}{3} \). Но для точного решения нужна правильная формула параболы.

0 0 Пожаловаться