Двое рабочих, выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта с вероятностями, равными соответственно 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2 изделия; СВ X – число изделий второго сорта среди них.

Задача касается вероятности появления изделий второго сорта, произведённых двумя рабочими. Пусть $X$ — случайная величина, представляющая количество изделий второго сорта среди двух изделий, выпущенных каждым рабочим. Поскольку каждый рабочий производит 2 изделия, можно применить понятие биномиального распределения для каждого рабочего отдельно.

1. У первого рабочего вероятность производства изделия второго сорта — 0,4. Следовательно, для него количество изделий второго сорта $X_1$ будет следовать биномиальному распределению с параметрами $n = 2$ и $p = 0,4$, т.е. $X_1 \sim Bin(2, 0,4)$.

   • Вероятности для $X_1$:
     • $P(X_1 = 0) = (1 - 0,4)^2 = 0,36$
     • $P(X_1 = 1) = 2 \times 0,4 \times 0,6 = 0,48$
     • $P(X_1 = 2) = 0,4^2 = 0,16$

2. У второго рабочего вероятность производства изделия второго сорта — 0,3. Следовательно, для него количество изделий второго сорта $X_2$ также будет биномиально распределено, но с параметрами $n = 2$ и $p = 0,3$, т.е. $X_2 \sim Bin(2, 0,3)$.

   • Вероятности для $X_2$:
     • $P(X_2 = 0) = (1 - 0,3)^2 = 0,49$
     • $P(X_2 = 1) = 2 \times 0,3 \times 0,7 = 0,42$
     • $P(X_2 = 2) = 0,3^2 = 0,09$

Теперь, так как $X$ — это сумма числа изделий второго сорта от обоих рабочих, то $X = X_1 + X_2$, и она будет иметь распределение, являющееся сверткой двух биномиальных распределений. Для нахождения вероятности для $X$, нужно учитывать все возможные комбинации значений $X_1$ и $X_2$, а затем найти соответствующие вероятности. Например:

• $P(X = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0) = 0,36 \times 0,49 = 0,1764$
• $P(X = 1) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 1) + P(X_1 = 1) \times P(X_2 = 0) = 0,36 \times 0,42 + 0,48 \times 0,49 = 0,1512 + 0,2352 = 0,3864$
• $P(X = 2) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 2) + P(X_1 = 1) \times P(X_2 = 1) + P(X_1 = 2) \times P(X_2 = 0) = 0,36 \times 0,09 + 0,48 \times 0,42 + 0,16 \times 0,49 = 0,0324 + 0,2016 + 0,0784 = 0,3124$