Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀: 1) f(x)=x²+x+1, x₀=1 2) f(x)=x-3x², x₀=2 3) f(x)=1/x, x₀=3 4) f(x)=1/x², x₀=-2 5) f(x)=sinx, x₀=π/4 6) f(x)=eˣ, x₀=0 7) f(x)=lnx, x₀=1 8) f(x)=√x, x₀=1

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Вычислить значение функции в точке $x_0$, то есть $y_0 = f(x_0)$.

2. Найти производную функции $f'(x)$, которая дает угол наклона касательной в любой точке.

3. Подставить $x_0$ в производную для нахождения угла наклона касательной в точке $x_0$.

4. Использовать уравнение касательной в виде:

   $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$

   где $y_0 = f(x_0)$ и $f'(x_0)$ — это производная функции в точке $x_0$.

Теперь рассмотрим каждый из примеров.

1) $f(x) = x^2 + x + 1$, $x_0 = 1$

1. $f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$.

2. $f'(x) = 2x + 1$.

3. $f'(1) = 2(1) + 1 = 3$.

4. Уравнение касательной:

   $$y - 3 = 3(x - 1)$$

   Упростим:

   $$y = 3x$$

2) $f(x) = x - 3x^2$, $x_0 = 2$

1. $f(2) = 2 - 3(2)^2 = 2 - 12 = -10$.

2. $f'(x) = 1 - 6x$.

3. $f'(2) = 1 - 6(2) = 1 - 12 = -11$.

4. Уравнение касательной:

   $$y - (-10) = -11(x - 2)$$

   Упростим:

   $$y + 10 = -11(x - 2)$$ $$y = -11x + 22 - 10$$ $$y = -11x + 12$$

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = 3$

1. $f(3) = \frac{1}{3}$.

2. $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

3. $f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$.

4. Уравнение касательной:

   $$y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}(x - 3)$$

   Упростим:

   $$y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}(x - 3)$$