3. В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% изделий изготовлено первым автоматом, а остальные - вторым. Драк в продукции первого автомата составляет 3%, а второго автомата 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

Задача на использование теоремы Байеса. Для её решения будем учитывать следующие данные:

• Вероятность того, что изделие изготовлено первым автоматом $P(A_1) = 0.40$.
• Вероятность того, что изделие изготовлено вторым автоматом $P(A_2) = 0.60$ (так как в сумме вероятность должна быть 1).
• Вероятность того, что изделие бракованное, если оно изготовлено первым автоматом $P(B|A_1) = 0.03$ (3% брака).
• Вероятность того, что изделие бракованное, если оно изготовлено вторым автоматом $P(B|A_2) = 0.02$ (2% брака).

Нам нужно найти вероятность того, что изделие было изготовлено первым автоматом, если оно бракованное. Это можно выразить через теорему Байеса:

где $P(B)$ — это общая вероятность того, что изделие окажется бракованным, независимо от того, каким автоматом оно было изготовлено. Для её вычисления используем формулу полной вероятности:

Подставляем данные:

Теперь, используя теорему Байеса, вычислим $P(A_1 | B)$:

Ответ: вероятность того, что случайно выбранное бракованное изделие было изготовлено первым автоматом, составляет 0.5 или 50%.