Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт

Ответы на вопрос

Отвечает Дудка Дарина.

Для решения этой задачи нужно использовать понятие относительно скорости теплохода по отношению к воде и течению. Разберём задачу поэтапно.

Дано:

Теплоход проходит 70 км по течению и возвращается назад.
Скорость течения реки — 4 км/ч.
Стоянка длится 8 часов.
Время, затраченное на путь обратно, составляет 14 часов от времени отправления.
Нужно найти скорость теплохода в неподвижной воде.

Обозначим:

$v$ — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).
$v_t = 4$ км/ч — скорость течения реки.
Теплоход идёт по течению, затем стоит 8 часов и возвращается обратно.

1. Время в пути по течению

Когда теплоход движется по течению, его скорость относительно берега будет равна скорости теплохода в воде плюс скорость течения. Таким образом, скорость теплохода по течению:

v_{\text{по течению}} = v + v_t = v + 4 \, \text{км/ч}.

Время, затраченное на путь по течению (расстояние 70 км):

t_{\text{по течению}} = \frac{70}{v + 4} \, \text{ч}.

2. Время в пути против течения

Когда теплоход возвращается против течения, его скорость будет равна разности скорости теплохода в воде и скорости течения:

v_{\text{против течения}} = v - v_t = v - 4 \, \text{км/ч}.

Время, затраченное на путь против течения (расстояние 70 км):

t_{\text{против течения}} = \frac{70}{v - 4} \, \text{ч}.

3. Общее время в пути

Общее время, затраченное на путь туда и обратно, состоит из времени в пути по течению, времени на стоянке (8 часов) и времени в пути против течения:

t_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} + \text{время стоянки}.

Время стоянки — 8 часов, и общее время в пути составляет 14 часов. Поэтому:

t_{\text{общее}} = 14 \, \text{ч}.

Таким образом, получаем уравнение:

\frac{70}{v + 4} + \frac{70}{v - 4} + 8 = 14.

Преобразуем его:

\frac{70}{v + 4} + \frac{70}{v - 4} = 6.

Теперь складываем дроби с общим знаменателем. Для этого умножим числители и знаменатели каждой дроби на недостающий множитель:

\frac{70(v - 4) + 70(v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 6.

Упрощаем числитель:

70(v - 4) + 70(v + 4) = 70v - 280 + 70v + 280 = 140v.

Знаменатель — это разность квадратов:

(v + 4)(v - 4) = v^2 - 16.

Тогда уравнение примет вид:

\frac{140v}{v^2 - 16} = 6.

Теперь умножим обе части на $v^2 - 16$ (предполагаем, что $v^2 - 16 \neq 0$ ):

140v = 6(v^2 - 16).

Раскроем скобки:

140v = 6v^2 - 96.

Переносим все в одну сторону:

6v^2 - 140v - 96 = 0.

Это квадратное уравнение. Для его решения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ :

v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Здесь $a = 6$ , $b = -140$ , $c = -96$ . Подставляем эти значения в формулу:

v = \frac{-(-140) \pm \sqrt{(-140)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-96)}}{2 \cdot 6}.

Вычисляем дискриминант:

(-140)^2 = 19600, \quad 4 \cdot 6 \cdot (-96) = -2304,

Последние заданные вопросы в категории Математика