В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.
Найти:
1) объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам;
2) наибольший объем описанного цилиндра.

Обозначим высоту конуса через \(H\), радиус его основания — через \(R\). Если высота цилиндра равна \(h\), то его радиус равен \(R\left(1-\frac{h}{H}\right)\).

Поэтому отношение объёмов:

\[\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}}=3\cdot\frac{h}{H}\left(1-\frac{h}{H}\right)^2.\]

1) При \(h=\frac{H}{2}\):

\[V_{\text{цил}}=72\cdot\frac{3}{8}=27.\]

2) Наибольший объём получается при \(h=\frac{H}{3}\). Тогда:

\[V_{\text{цил}}=72\cdot\frac{4}{9}=32.\]

Ответ: \(27\) и \(32\).

0 0 Пожаловаться