Найти неопределённый интеграл (x^2+2x+1)ln x dx
Подробно.

Найдём интеграл:

\[\int (x^2+2x+1)\ln x\,dx\]

Применим интегрирование по частям:

\[u=\ln x,\qquad dv=(x^2+2x+1)\,dx\]

Тогда:

\[du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^3}{3}+x^2+x\]

Используем формулу \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\):

\[\int (x^2+2x+1)\ln x\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\ln x-\int\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\frac{1}{x}\,dx\]

Упростим второй интеграл:

\[=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\ln x-\int\left(\frac{x^2}{3}+x+1\right)dx\]

\[=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\ln x-\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2}-x+C\]

Ответ:

\[\int (x^2+2x+1)\ln x\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\ln x-\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2}-x+C,\qquad x>0\]

0 0 Пожаловаться