Помогите решить задачу!)
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Для решения этой задачи нам нужно найти, как распределить добычу алюминия и никеля в обеих шахтах таким образом, чтобы максимально увеличить производство сплава, при этом соблюдая пропорцию 2 кг алюминия на 1 кг никеля.

Шахта 1

В первой шахте работают 100 человек, и каждый из них готов работать по 5 часов в день. Каждый рабочий за час добывает либо 1 кг алюминия, либо 3 кг никеля. Таким образом, общая рабочая сила в шахте 1 составляет:

При этом каждый рабочий может добывать 1 кг алюминия за час или 3 кг никеля. Если все рабочие будут добывать алюминий, то в шахте 1 будет добыто:

Если же все рабочие будут добывать никель, то будет добыто:

Таким образом, шахта 1 может произвести от 0 до 500 кг алюминия и от 0 до 1500 кг никеля в зависимости от того, как распределены усилия рабочих.

Шахта 2

Во второй шахте работают 300 человек, и каждый из них также готов работать по 5 часов в день. Каждый рабочий за час может добыть либо 3 кг алюминия, либо 1 кг никеля. Общая рабочая сила во второй шахте:

Если все рабочие будут добывать алюминий, то во второй шахте будет добыто:

Если же все рабочие будут добывать никель, то будет добыто:

Таким образом, шахта 2 может произвести от 0 до 4500 кг алюминия и от 0 до 1500 кг никеля.

Стратегия добычи

Задача заключается в том, чтобы из всего этого потока металлов получить наибольшее количество сплава, при этом соблюдая пропорцию: на 2 кг алюминия должно быть 1 кг никеля. Пусть:

• $x_1$ — количество алюминия, добытое в первой шахте,
• $y_1$ — количество никеля, добытое в первой шахте,
• $x_2$ — количество алюминия, добытое во второй шахте,
• $y_2$ — количество никеля, добытое во второй шахте.

Необходимо максимизировать общее количество сплава, которое будет равно:

Это выражение учитывает, что для каждого килограмма никеля требуется 2 килограмма алюминия для производства сплава.

Ограничения

1. В первой шахте может быть добыто не более 500 кг алюминия и не более 1500 кг никеля. $$0 \leq x_1 \leq 500, \quad 0 \leq y_1 \leq 1500.$$
2. Во второй шахте может быть добыто не более 4500 кг алюминия и не более 1500 кг никеля. $$0 \leq x_2 \leq 4500, \quad 0 \leq y_2 \leq 1500.$$

Решение

Чтобы максимизировать количество сплава, нужно максимально использовать все возможности обеих шахт для производства и алюминия, и никеля. Но при этом важно, чтобы количество алюминия было в два раза больше, чем количество никеля, чтобы завод мог производить максимальное количество сплава.

Из ограничений видно, что для получения максимального количества сплава из обеих шахт, следует добывать:

• В шахте 1: 500 кг алюминия и 1500 кг никеля.
• В шахте 2: 4500 кг алюминия и 1500 кг никеля.

Теперь посчитаем, сколько сплава можно получить:

• Общее количество алюминия: $500 + 4500 = 5000 \text{ кг}$.
• Общее количество никеля: $1500 + 1500 = 3000 \text{ кг}$.

Для производства сплава на 1 кг никеля требуется 2 кг алюминия, поэтому для 3000 кг никеля потребуется:

Но у нас всего 5000 кг алюминия, что означает, что лимитирует количество сплава именно алюминий. Максимальное количество сплава, которое можно произвести, будет:

Ответ:

Завод сможет ежедневно производить 2500 кг сплава.