Опыт состоит в последовательном бросании трех монет. Вычислить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре. Определить,
зависимы или независимы пары событий.
В – выпадение герба на второй монете;
H – выпадение трех гербов.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть ситуацию последовательного бросания трех монет, а затем вычислить условные и безусловные вероятности для каждой из пар событий. Начнем с более детального объяснения.

Описание эксперимента

Мы проводим эксперимент, в котором одновременно подбрасываются три монеты, и мы рассматриваем два события:

• В — выпадение герба на второй монете.
• H — выпадение трех гербов (герб на всех трех монетах).

Множество возможных исходов при подбрасывании трех монет составляют все возможные комбинации выпадения орел или герб на каждой монете. Это множество выглядит так:

• ООO
• ООГ
• ОГО
• ОГГ
• ГОО
• ГОГ
• ГГО
• ГГГ

Итак, всего существует 8 возможных исходов.

Безусловные вероятности

Теперь мы вычислим безусловные вероятности для каждого из событий:

1. Вероятность события В (герб на второй монете):

   Из 8 возможных исходов нас интересуют те, где на второй монете выпал герб (Г). Это исходы: ООГ, ОГГ, ГОГ, ГГГ. Таких исходов 4.

   Вероятность того, что на второй монете выпадет герб:

   $$P(V) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

2. Вероятность события H (выпадение трех гербов):

   Из 8 возможных исходов только один соответствует выпадению трех гербов — это исход ГГГ.

   Вероятность того, что все три монеты покажут герб:

   $$P(H) = \frac{1}{8}$$

Условные вероятности

Теперь вычислим условные вероятности для каждой пары событий.

Условная вероятность $P(V|H)$ — вероятность выпадения герба на второй монете при условии, что выпало три герба.

Если мы знаем, что выпали три герба, то это означает, что исход был ГГГ. В этом случае на второй монете точно выпал герб.

Условная вероятность $P(H|V)$ — вероятность выпадения трех гербов при условии, что на второй монете выпал герб.

Если на второй монете выпал герб, то нас интересуют такие исходы, как ООГ, ОГГ, ГОГ и ГГГ. Из этих 4 исходов только один соответствует выпадению трех гербов — это ГГГ.

Зависимость или независимость событий

Чтобы определить, являются ли события зависимыми или независимыми, нужно проверить, выполняется ли условие независимости:

Где $A$ — это событие В, а $B$ — событие H.

1. $P(V \cap H)$ — вероятность того, что на второй монете выпадет герб и на всех монетах выпадут гербы (то есть исход ГГГ). Это всего один исход из 8 возможных.

2. Теперь проверим, выполняется ли условие независимости:

Однако, $P(V \cap H) = \frac{1}{8}$, а не $\frac{1}{16}$, следовательно, события не независимы.

Итог

• Безусловные вероятности:

  • $P(V) = \frac{1}{2}$
  • $P(H) = \frac{1}{8}$

• Условные вероятности:

  • $P(V|H) = 1$
  • $P(H|V) = \frac{1}{4}$

• События зависимы, потому что $P(V \cap H) \neq P(V) \cdot P(H)$.