5-3cos2a если sina=-1/6

Для того чтобы выразить выражение $5 - 3\cos(2a)$, если $\sin(a) = -\frac{1}{6}$, необходимо выполнить несколько шагов, начиная с нахождения значения $\cos(a)$, а затем вычислить $\cos(2a)$.

1. Нахождение $\cos(a)$:

   Для начала используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1.$$

   Нам известно, что $\sin(a) = -\frac{1}{6}$. Подставим это значение в тождество:

   $$\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + \cos^2(a) = 1,$$ $$\frac{1}{36} + \cos^2(a) = 1.$$

   Теперь выразим $\cos^2(a)$:

   $$\cos^2(a) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}.$$

   Следовательно:

   $$\cos(a) = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}.$$

   Знак $\cos(a)$ зависит от того, в какой четверти находится угол $a$. Поскольку $\sin(a) = -\frac{1}{6}$, это означает, что угол $a$ находится либо в третьей, либо в четвёртой четверти. В третьей четверти косинус отрицателен, поэтому:

   $$\cos(a) = -\frac{\sqrt{35}}{6}.$$

2. Нахождение $\cos(2a)$:

   Для нахождения $\cos(2a)$ используем формулу удвоенного угла:

   $$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1.$$

   Подставим значение $\cos(a) = -\frac{\sqrt{35}}{6}$:

   $$\cos(2a) = 2\left(-\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{35}{36} - 1 = \frac{70}{36} - 1 = \frac{70}{36} - \frac{36}{36} = \frac{34}{36} = \frac{17}{18}.$$

3. Вычисление выражения $5 - 3\cos(2a)$:

   Теперь подставим $\cos(2a) = \frac{17}{18}$ в исходное выражение:

   $$5 - 3\cos(2a) = 5 - 3 \times \frac{17}{18} = 5 - \frac{51}{18}.$$

   Приводим 5 к общему знаменателю:

   $$5 = \frac{90}{18},$$ $$5 - \frac{51}{18} = \frac{90}{18} - \frac{51}{18} = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}.$$