Измерения прямоугольного параллелепипеда (рисунок 2.2 ) выражаются простыми числами. Площадь его передней грани равна 21 см в квадрате,верхнейграни 35 см в квадрате. Определите его измерения? Найдите его объем?

Для того чтобы найти измерения прямоугольного параллелепипеда, нужно использовать данные о площади его граней и свойства геометрической фигуры.

Предположим, что параллелепипед имеет три измерения: длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$. Тогда передняя грань, как правило, представляет собой прямоугольник с размерами $a$ и $b$, верхняя грань — прямоугольник с размерами $a$ и $c$, а боковая грань — прямоугольник с размерами $b$ и $c$.

Из условия задачи нам даны площади двух граней:

• Площадь передней грани: $S_1 = a \cdot b = 21 \, \text{см}^2$,
• Площадь верхней грани: $S_2 = a \cdot c = 35 \, \text{см}^2$.

Нам нужно найти размеры $a$, $b$ и $c$, а затем вычислить объем параллелепипеда.

1. Выразим $b$ и $c$ через $a$: Из первого уравнения:

   $$a \cdot b = 21 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{21}{a}.$$

   Из второго уравнения:

   $$a \cdot c = 35 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{35}{a}.$$

2. Используем третье уравнение: Площадь боковой грани (между гранью $b$ и $c$) будет равна $S_3 = b \cdot c$. Подставляем выражения для $b$ и $c$:

   $$S_3 = \left(\frac{21}{a}\right) \cdot \left(\frac{35}{a}\right) = \frac{735}{a^2}.$$

   Мы можем решить задачу, используя известное правило объема прямоугольного параллелепипеда:

   $$V = a \cdot b \cdot c.$$

   Подставим выражения для $b$ и $c$ в эту формулу:

   $$V = a \cdot \frac{21}{a} \cdot \frac{35}{a} = \frac{735}{a}.$$

3. Найдем конкретное значение $a$, $b$ и $c$. Мы видим, что $a$, $b$, и $c$ являются простыми числами. Таким образом, находим возможное значение $a$ путем проверки простых чисел, которые удовлетворяют этим условиям.

   Проверим $a = 7$:

   • $b = \frac{21}{7} = 3$,
   • $c = \frac{35}{7} = 5$.

   Это удовлетворяет всем условиям задачи.

4. Вычислим объем: Объем параллелепипеда равен:

   $$V = 7 \cdot 3 \cdot 5 = 105 \, \text{см}^3.$$

Ответ: Измерения прямоугольного параллелепипеда — 7 см, 3 см и 5 см. Его объем равен 105 см³.