Найдите производную функции y=1/2tg(4x-π)+π/4 при x=π/4

Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{2} \tan(4x - \pi) + \frac{\pi}{4}$ при $x = \frac{\pi}{4}$, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Применение правил дифференцирования

Для начала разобьём функцию на два слагаемых:

1. $y_1 = \frac{1}{2} \tan(4x - \pi)$
2. $y_2 = \frac{\pi}{4}$ (константа)

Производная от константы $y_2$ равна 0, так как производная константы всегда равна нулю.

Таким образом, нам нужно найти производную только от первого слагаемого $y_1 = \frac{1}{2} \tan(4x - \pi)$.

Шаг 2: Дифференцирование $y_1$

Используем правило дифференцирования функции тангенса. Производная от $\tan(u)$ по $x$ равна $\sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}$, где $u = 4x - \pi$.

Таким образом:

Поскольку производная от $4x - \pi$ по $x$ равна 4, получаем:

Теперь, учитывая множитель $\frac{1}{2}$, получаем:

Шаг 3: Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$

Теперь, чтобы найти производную при $x = \frac{\pi}{4}$, подставим это значение в выражение $2 \sec^2(4x - \pi)$.

Для $x = \frac{\pi}{4}$ получаем:

Таким образом, $\sec(0) = 1$, и $\sec^2(0) = 1$.

Подставив это значение, получаем:

Ответ

Производная функции $y = \frac{1}{2} \tan(4x - \pi) + \frac{\pi}{4}$ при $x = \frac{\pi}{4}$ равна $2$.