В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание - 6 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и теоремой о средней линии.

Дано:

• Один из углов трапеции равен 60°.
• Боковая сторона (равная для обеих боковых сторон) равна 10 см.
• Меньшее основание трапеции равно 6 см.

Необходимо найти:

• Среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон и равный полусумме оснований трапеции.

Шаг 1: Определение углов и построение высоты

Пусть трапеция ABCD, где:

• AB — меньшее основание, равное 6 см.
• CD — большее основание (его мы пока не знаем).
• AD и BC — боковые стороны, каждая длиной 10 см.

Угол между боковой стороной и основанием AB равен 60°. Поскольку трапеция равнобедренная, угол при вершинах A и B одинаковый, т.е. угол при вершине A (и аналогично угол при вершине B) тоже 60°.

Построим высоту трапеции из вершины A (или B), которая будет перпендикулярна основанию AB.

Шаг 2: Разбор прямоугольного треугольника

В треугольнике ABD, где D — основание высоты, отрезок AD является боковой стороной трапеции, равной 10 см, а угол BAD — 60°.

Пусть h — высота трапеции (перпендикуляр из точки A на основание AB).

Используем тригонометрию для нахождения h:

• В прямоугольном треугольнике ABD: $$\sin(60^\circ) = \frac{h}{AD} = \frac{h}{10}.$$ Из этого получаем: $$h = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8,66 \, \text{см}.$$

Шаг 3: Нахождение расстояния между основаниями

В треугольнике ABD (где угол BAD равен 60°) длина основания AB — 6 см, а боковая сторона AD — 10 см. Мы уже знаем высоту h.

Теперь, чтобы найти длину более длинного основания (CD), используем теорему Пифагора в треугольнике с гипотенузой равной боковой стороне. Мы видим, что меньшее основание 6cm