Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?​

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с произведением двух чисел, которое равно 7200, и определим, какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель (НОД).

Шаг 1: Разложим число 7200 на простые множители.

Для начала представим число 7200 в виде произведения простых чисел:

Теперь разложим каждое из чисел на простые множители:

Таким образом, 7200 можно представить как:

Или более точно:

Шаг 2: Определим наибольший общий делитель (НОД).

Пусть два числа, произведение которых равно 7200, это $a$ и $b$. Тогда можно записать их в виде произведения простых множителей:

где $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$ — это целые неотрицательные числа, которые соответствуют степеням простых чисел 2, 3 и 5 в разложении чисел $a$ и $b$.

По условию задачи известно, что произведение $a \times b = 7200$. Значит:

Сравнив степени простых чисел с обеих сторон, получаем систему уравнений:

Теперь, чтобы найти наибольшее значение НОД, нам нужно максимизировать степень каждого простого числа, которая будет общая для обоих чисел. Это значит, что для каждого простого числа мы должны выбрать минимальное значение степени между $a$ и $b$.

1. Для числа 2: $\min(x_1, x_2)$
2. Для числа 3: $\min(y_1, y_2)$
3. Для числа 5: $\min(z_1, z_2)$

Максимизируем НОД, выбирая такие значения степеней, чтобы они были как можно больше:

• Для 2, максимальная степень будет $\min(x_1, x_2) = 2$, потому что из уравнения $x_1 + x_2 = 5$, для максимизации минимальной степени мы выбираем $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
• Для 3, максимальная степень будет $\min(y_1, y_2) = 1$, потому что из уравнения $y_1 + y_2 = 2$, для максимизации минимальной степени мы выбираем $y_1 = 1$ и $y_2 = 1$