В каком виде записывается уравнение к задаче, в которой величины: а) прямо пропорциональны; б) обратно пропорциональны?

При решении задач, связанных с пропорциональными величинами, уравнения записываются по-разному в зависимости от характера пропорциональности:

а) Прямо пропорциональные величины

Две величины $x$ и $y$ называются прямо пропорциональными, если увеличение одной из них вызывает пропорциональное увеличение другой. Это означает, что отношение одной величины к другой всегда остается постоянным.

Формула:

где:

• $y$ — одна величина,
• $x$ — другая величина,
• $k$ — коэффициент пропорциональности, который остается постоянным.

Пример: Если скорость $v$ и пройденное расстояние $s$ зависят от времени $t$, то для равномерного движения уравнение будет:

Здесь $v$ — коэффициент пропорциональности, показывающий скорость движения.

б) Обратно пропорциональные величины

Две величины $x$ и $y$ называются обратно пропорциональными, если увеличение одной из них вызывает пропорциональное уменьшение другой. В этом случае их произведение всегда остается постоянным.

Формула:

или эквивалентно:

где:

• $y$ — одна величина,
• $x$ — другая величина,
• $k$ — коэффициент пропорциональности, равный произведению $x$ и $y$, который остается постоянным.

Пример: Если время $t$ и скорость $v$ связаны расстоянием $s$, то уравнение будет:

Здесь $s$ — коэффициент пропорциональности, показывающий пройденное расстояние.

Отличия и применение

• В случае прямой пропорциональности график зависимости — прямая линия, проходящая через начало координат ($y = kx$).
• В случае обратной пропорциональности график зависимости — гипербола ($y = \frac{k}{x}$).

Эти зависимости широко применяются в физике, математике, экономике и других науках, где величины взаимодействуют друг с другом подобным образом.