Определите закономерность построения последовательности

- 1 1/19; 2 2/19; -3 3/19; 4 4/19;......
Вычислите наиболее удобным способом сумму
первых 38 чисел последовательно

Чтобы понять закономерность последовательности, давайте внимательно рассмотрим её элементы. Каждый элемент последовательности выглядит как пара чисел в следующем виде:

1. Первый элемент: $1 + \frac{1}{19}$
2. Второй элемент: $2 + \frac{2}{19}$
3. Третий элемент: $-3 + \frac{3}{19}$
4. Четвертый элемент: $4 + \frac{4}{19}$

Мы видим, что каждый элемент состоит из целой части и дробной части. Причем целая часть чередуется между положительными и отрицательными числами, а дробная часть всегда имеет вид $\frac{n}{19}$, где $n$ — это номер элемента в последовательности.

Теперь рассмотрим целую часть:

• Для $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ целая часть последовательности выглядит как $(-1)^n \cdot n$. То есть, она чередуется: для четных $n$ целая часть положительная, для нечетных — отрицательная.

Дробная часть: всегда $\frac{n}{19}$, где $n$ — номер элемента последовательности.

Таким образом, последовательность принимает вид:

Сумма первых 38 чисел

Задача состоит в том, чтобы найти сумму первых 38 элементов этой последовательности.

1. Сумма целых частей: Для целых частей последовательности получаем следующее выражение:

   $$S_{\text{целые}} = \sum_{n=1}^{38} (-1)^n \cdot n$$

   Это сумма чередующихся положительных и отрицательных чисел, то есть:

   $$S_{\text{целые}} = -(1 - 2 + 3 - 4 + \dots - 37 + 38)$$

   Можно сгруппировать элементы:

   $$S_{\text{целые}} = -(1 - 2 + 3 - 4 + \dots - 37 + 38) = (1 + 2) + (3 + 4) + \dots + (37 + 38) = 19 \cdot 39 = 741$$

   Итак, сумма целых частей:

   $$S_{\text{целые}} = 741$$

2. Сумма дробных частей: Сумма дробных частей выглядит так:

   $$S_{\text{дробные}} = \sum_{n=1}^{38} \frac{n}{19}$$

   Это можно вынести за скобки:

   $$S_{\text{дробные}} = \frac{1}{19} \sum_{n=1}^{38} n$$

   Сумма чисел от 1 до 38 равна:

   $$\sum_{n=1}^{38} n = \frac{38 \cdot 39}{2} = 741$$

   Следовательно:

   $$S_{\text{дробные}} = \frac{741}{19} = 39$$

3. Общая сумма: Теперь, чтобы найти общую сумму, нужно сложить сумму целых частей и сумму дробных частей:

   $$S_{\text{общая}} = 741 + 39 = 780$$

Итак, сумма первых 38 чисел последовательности равна 780.