Натуральное число A таково, что НОК(100, A)=600, а НОК(100, A+1)=100. Чему равно A?

Чтобы решить задачу, давайте разберемся поэтапно.

1. НОК (наименьшее общее кратное) чисел:

НОК двух чисел $x$ и $y$ — это наименьшее число, которое одновременно делится на оба этих числа. Например, НОК(100, A) — это наименьшее число, которое делится и на 100, и на A.

2. Дано:

• НОК(100, A) = 600.
• НОК(100, A+1) = 100.

Рассмотрим, что это значит:

• НОК(100, A) = 600 говорит о том, что наименьшее число, которое делится на 100 и A, равно 600.
• НОК(100, A+1) = 100 говорит о том, что наименьшее число, которое делится на 100 и A+1, равно 100.

3. Важные выводы:

• НОК(100, A) = 600. Поскольку 100 = $2^2 \cdot 5^2$, 600 можно разложить на простые множители как $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$. Это означает, что A должно быть таким числом, что НОК(100, A) = 600. То есть A должно включать в себя фактор $3$ (так как 600 содержит 3, а 100 — нет), но не должно добавлять новых множителей, которые бы увеличивали НОК выше 600. В частности, это ограничивает A.

• НОК(100, A+1) = 100. Это означает, что A+1 должно быть таким числом, что наибольшим общим кратным 100 и A+1 будет 100. То есть A+1 не должно содержать множителей, которые приводят к увеличению НОК, кроме тех, которые уже есть у 100. В частности, A+1 не может включать фактор 3, иначе НОК с 100 был бы больше 100.

4. Поиск A:

Для того чтобы НОК(100, A) было равно 600, A должно содержать фактор 3. Следовательно, A должно быть кратно 3. Теперь, чтобы НОК(100, A+1) было равно 100, A+1 не должно иметь никаких дополнительных факторов, кроме тех, что уже есть в 100. Таким образом, A+1 должно быть делимо на 100.

Из этого следует, что $A + 1 = 100k$, где $k$ — некоторое целое число. Отсюда $A = 100k - 1$.

Подставим это выражение для A в условие, что НОК(100, A) = 600.

• Пусть $A = 100k - 1$. Тогда $\text{НОК}(100, A) = \text{НОК}(100, 100k - 1) = 600$.

Теперь подставим $k = 6$ (проверим, работает ли это):

• Тогда $A = 100 \times 6 - 1 = 599$.
• НОК(100, 599) = 600, так как 599 делится на 3, но не увеличивает НОК выше 600.

Ответ: $A = 599$.