В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу на два отрезка AH=16 см и BH=25 см. найдите СН, АС, АС Площаь ACH, площадь BCH

Задача о прямоугольном треугольнике ABC, где дана высота CH, проведенная из вершины прямого угла, и она делит гипотенузу AB на два отрезка AH и BH, требует нахождения нескольких величин.

Дано:

• $AH = 16 \, \text{см}$
• $BH = 25 \, \text{см}$
• $AB = AH + BH = 16 + 25 = 41 \, \text{см}$ — длина гипотенузы.
• $\angle ACB = 90^\circ$ — угол прямого треугольника.

Необходимо найти:

1. Длину высоты CH.
2. Длины катетов AC и BC.
3. Площади треугольников ACH и BCH.

Шаг 1: Используем теорему о высоте прямоугольного треугольника

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике гласит, что высота, проведенная из прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, причем произведение этих отрезков равно произведению катетов треугольника. То есть:

Подставляем значения:

Теперь мы знаем, что высота $CH = 20 \, \text{см}$.

Шаг 2: Нахождение катетов AC и BC

Согласно теореме Пифагора для треугольника ABC:

Подставим $AB = 41 \, \text{см}$:

Теперь, для нахождения катетов, можно использовать теорему о разности квадратов:

Вычислим каждое из выражений:

• $AC = \sqrt{16 \times 41} = \sqrt{656} \approx 25.61 \, \text{см}$
• $BC = \sqrt{25 \times 41} = \sqrt{1025} \approx 32.02 \, \text{см}$

Таким образом, катеты имеют следующие длины:

• $AC \approx 25.61 \, \text{см}$
• $BC \approx 32.02 \, \text{см}$

Шаг 3: Нахождение площадей треугольников ACH и BCH

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту}$.

• Для треугольника $\triangle ACH$ основанием будет отрезок $AH = 16 \, \text{см}$, а высотой $CH = 20 \, \text{см}$:

  $$S_{ACH} = \frac{1}{2} \times 16 \times 20 = 160 \, \text{см}^2$$

• Для треугольника $\triangle BCH$ основанием будет отрезок $BH = 25 \, \text{см}$, а высотой $CH = 20 \, \text{см}$:

  $$S_{BCH} = \frac{1}{2} \times 25 \times 20 = 250 \, \text{см}^2$$

Ответ:

• Высота $CH = 20 \, \text{см}$
• Катет $AC \approx 25.61 \, \text{см}$
• Катет $BC \approx 32.02 \, \text{см}$
• Площадь треугольника $ACH$ $S_{ACH} = 160 \, \text{см}^2$
• Площадь треугольника $BCH$ $S_{BCH} = 250 \, \text{см}^2$