Маша решает тест из 99 заданий одной сложности на час дольше, чем даша решает тест из 89 таких же заданий. Даша решает быстрее Маши на 2 задания в час. Сколько заданий в час решает Маша?​

Давайте обозначим скорость решения заданий Машей и Дашей через $v_M$ и $v_D$ соответственно, где $v_M$ — это количество заданий, которое Маша решает за 1 час, а $v_D$ — это количество заданий, которое решает Даша за 1 час.

1. Из условия задачи:

   Маша решает тест из 99 заданий на 1 час дольше, чем Даша решает тест из 89 заданий. То есть, время, которое тратит Маша на решение своего теста, на 1 час больше, чем время, которое тратит Даша на решение своего теста.

   Время, которое тратит Маша на решение теста, можно выразить как $\frac{99}{v_M}$, так как она решает 99 заданий и её скорость решения — $v_M$.

   Время, которое тратит Даша на решение теста, равно $\frac{89}{v_D}$, так как она решает 89 заданий, а её скорость решения — $v_D$.

   Из условия задачи следует, что время Маши на 1 час больше времени Даши:

   $$\frac{99}{v_M} = \frac{89}{v_D} + 1$$

2. Также из условия задачи известно, что Даша решает быстрее Маши на 2 задания в час. То есть:

   $$v_D = v_M + 2$$

3. Теперь подставим выражение для $v_D$ в первое уравнение:

   $$\frac{99}{v_M} = \frac{89}{v_M + 2} + 1$$

4. Умножим обе части уравнения на $v_M(v_M + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$99(v_M + 2) = 89v_M + v_M(v_M + 2)$$

   Раскроем скобки:

   $$99v_M + 198 = 89v_M + v_M^2 + 2v_M$$

5. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   $$99v_M + 198 = 89v_M + v_M^2 + 2v_M$$ $$0 = v_M^2 - 8v_M - 198$$

   Это квадратное уравнение:

   $$v_M^2 - 8v_M - 198 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение по формуле:

   $$v_M = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-198)}}{2 \cdot 1}$$ $$v_M = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 792}}{2}$$ $$v_M = \frac{8 \pm \sqrt{856}}{2}$$

   Приближенно $\sqrt{856} \approx 29.27$, так что:

   $$v_M = \frac{8 \pm 29.27}{2}$$

   Получаем два возможных значения:

   $$v_M = \frac{8 + 29.27}{2} \approx \frac{37.27}{2} \approx 18.64$$