На плоскости отметили 10 точек, затем каждые две из них соединили отрезком. Какое наибольшее число таких отрезков может пересечь прямая, которая не проходит ни через одну их этих точек?

Задача требует нахождения наибольшего числа отрезков, которые могут пересечься при расположении 10 точек на плоскости. Рассмотрим, как это происходит.

1. Условия задачи

На плоскости есть 10 точек, каждая пара точек соединена отрезком. Мы ищем наибольшее количество этих отрезков, которые могут быть пересечены одной прямой, не проходящей через эти точки.

2. Число отрезков

Сначала вычислим, сколько всего отрезков будет соединять 10 точек. Количество таких отрезков равно числу сочетаний двух точек из 10, то есть:

То есть, существует 45 отрезков.

3. Пересечения отрезков

Прямая может пересечь отрезки, которые не лежат на одной прямой. Чтобы два отрезка пересекались, они должны быть "перехвачены" прямой, т.е. располагаться так, чтобы одна из их частей была по одну сторону от прямой, а другая — по другую.

4. Структура пересечений

Для того чтобы отрезки пересекались, их концы должны быть расположены в определённом порядке относительно прямой. Например, если у нас есть четыре точки, расположенные на плоскости, то прямую, проходящую через эти точки, можно провести так, что отрезки, соединяющие эти точки, будут пересекаться. Причем для каждого сочетания четырёх точек можно провести прямую, которая пересечет два отрезка, соединяющих эти точки.

Для четырёх точек, например, если соединить их отрезками, то можно провести прямую, которая пересечет два отрезка. Это максимальное количество пересечений для четырёх точек.

5. Максимальное количество пересечений

Чем больше точек, тем больше возможных пересечений отрезков. Рассмотрим ситуацию для 10 точек. Прямая, которая пересекает отрезки, может пересекать каждый возможный набор отрезков, соединяющих любые четыре точки. Таким образом, число пересечений для максимальной конфигурации отрезков будет равно числу способов выбрать 4 точки из 10, так как для каждой группы из четырёх точек прямую можно провести так, чтобы она пересекала два отрезка. Количество таких выборов:

6. Ответ

Наибольшее количество отрезков, которые могут быть пересечены одной прямой, не проходящей через какие-либо из 10 точек, равно 210.