Рабочие прокладывают тоннель длиной 87 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

Для решения этой задачи можно использовать систему арифметической прогрессии. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Условия задачи:

• Длина туннеля — 87 метров.
• Рабочие увеличивают норму прокладки тоннеля каждый день на одно и то же количество метров.
• В первый день рабочие проложили 7 метров.
• Работа завершена за 6 дней.

2. Обозначения:

• Пусть $x$ — это количество метров, на которое увеличивается норма прокладки тоннеля каждый день.
• $a_1 = 7$ метров — это количество метров, проложенных в первый день.
• Количество метров, проложенных в i-й день, будет равно:
  • $a_1 = 7$ метров в первый день,
  • $a_2 = 7 + x$ метров во второй день,
  • $a_3 = 7 + 2x$ метров в третий день,
  • и так далее, до шестого дня.

3. Сумма всех метров, проложенных за 6 дней:

Сумма всех метров, проложенных рабочими за 6 дней, будет суммой членов арифметической прогрессии, где:

• Первый член прогрессии $a_1 = 7$,
• Разность прогрессии $d = x$,
• Число членов прогрессии $n = 6$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

Подставим известные значения:

Мы знаем, что за 6 дней было проложено 87 метров туннеля, то есть:

4. Решение уравнения:

Теперь решим это уравнение:

5. Определение количества метров, проложенных в последний день:

Теперь, зная, что ежедневное увеличение составляет 3 метра, можем найти, сколько метров было проложено в последний (шестой) день: Количество метров, проложенных в последний день (шестой день), будет равно:

Ответ:

В последний день рабочие проложили 22 метра туннеля.