Бригада маляров красит забор длиной 810 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 180 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Чтобы решить задачу, найдем количество дней, за которые бригада маляров покрасила весь забор.

Дано:

• Общая длина забора: $810$ метров.
• Сумма нормы покраски за первый и последний день: $a_1 + a_n = 180$, где $a_1$ — норма покраски первого дня, а $a_n$ — норма покраски последнего дня.
• Норма покраски ежедневно увеличивается на одно и то же число метров ($d$).

Шаг 1. Формула для длины забора

Так как бригада красила забор с увеличением нормы, это арифметическая прогрессия. Сумма всех дней вычисляется по формуле:

где $S_n$ — общая длина забора, $n$ — количество дней, $a_1$ и $a_n$ — нормы покраски в первый и последний день соответственно.

Подставляем известные данные:

Шаг 2. Выразим $n$ (количество дней)

Упростим уравнение:

Таким образом, бригада красила забор $n = 9$ дней.

Шаг 3. Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, проверим, что сумма нормы покраски за 9 дней действительно равна 810 метров:

• Если $n = 9$, то формула суммы прогрессии: $$S_9 = \frac{9}{2} \cdot (a_1 + a_9).$$ Подставляем $a_1 + a_9 = 180$: $$S_9 = \frac{9}{2} \cdot 180 = 810.$$

Все расчёты сходятся, задача решена верно.

Ответ:

Бригада маляров красила забор 9 дней.