На 10 карточках написаны разные натуральные числа, их сумма равна 60. Маша выложила карточки в порядке возрастания. Чему может быть равна
сумма чисел на двух средних карточках? Найдите все возможные ответы,​

Давайте решим задачу подробно и аккуратно.

Условие задачи:

На 10 карточках написаны разные натуральные числа, их сумма равна 60. Карточки выложены в порядке возрастания. Необходимо найти все возможные суммы двух средних карточек.

Шаг 1: Определение чисел на карточках

Пусть числа на карточках обозначаются как $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$, где:

и все числа натуральные.

Сумма всех чисел равна:

Шаг 2: Минимальная сумма натуральных чисел

Для минимизации суммы чисел на двух средних карточках $a_5 + a_6$, числа должны быть как можно ближе друг к другу, начиная с минимального набора натуральных чисел:

Но:

Эта сумма меньше 60. Значит, надо увеличить некоторые числа, чтобы общая сумма стала равна 60, сохраняя условия порядка и уникальности чисел.

Шаг 3: Общее правило модификации

1. Числа $a_1, a_2, \dots, a_4$ (до средних карточек) должны быть минимальными, чтобы $a_5 + a_6$ увеличивались минимально.
2. Числа $a_7, a_8, a_9, a_{10}$ (после средних карточек) также минимальны, чтобы не увеличивать ненужные карточки.
3. Лишнюю сумму $60 - 55 = 5$ нужно добавить к числам $a_5, a_6$, чтобы повлиять на сумму двух средних карточек.

Шаг 4: Распределение "лишних" 5 единиц

1. Увеличиваем числа постепенно, сохраняя порядок:
   • Увеличиваем $a_5$ или $a_6$ минимально.
   • После изменения чисел $a_1 + a_2 + \dots + a_{10}$ сумма становится равной 60.

Пример 1: Минимальная сумма $a_5 + a_6$

Пусть:

Проверяем:

Сумма средних карточек:

Пример 2: Увеличение средних чисел

Пусть: