Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. при симметрии относительно точки D плоскость ABC перешла в плоскость A1B1C1 . найдите расстояние между этими плоскостями

Чтобы найти расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ в задаче с симметрией относительно вершины $D$ правильного тетраэдра $DABC$ с ребром $a$, нужно выполнить следующие шаги.

1. Понять суть симметрии относительно точки

Симметрия относительно точки $D$ означает, что каждая точка в пространстве отображается через $D$ на другую сторону на равном расстоянии. Следовательно:

• Каждая вершина $A$, $B$, $C$ из плоскости $ABC$ переходит в вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$ в новой плоскости $A_1B_1C_1$, расположенной на противоположной стороне относительно точки $D$.

2. Определить центр плоскости $ABC$

Плоскость $ABC$ — это правильный треугольник, и его центр совпадает с точкой пересечения медиан. Координаты центра $O$ плоскости $ABC$, если вершины $A$, $B$, $C$ расположены в пространстве, равны среднему арифметическому координат:

3. Рассчитать координаты $A_1, B_1, C_1$

Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, симметричные относительно точки $D$, имеют координаты, которые можно вычислить по формуле симметрии:

4. Понять расположение плоскостей $ABC$ и $A_1B_1C_1$

• Оригинальная плоскость $ABC$ находится на одной стороне от точки $D$.
• Плоскость $A_1B_1C_1$ параллельна $ABC$, так как симметрия относительно точки сохраняет взаимное расположение точек.

5. Рассчитать расстояние между плоскостями

Для правильного тетраэдра $DABC$:

• Высота из точки $D$ на плоскость $ABC$ равна:

• При симметрии относительно точки $D$ расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равно удвоенному расстоянию от точки $D$ до плоскости $ABC$, так как $A_1B_1C_1$ симметрична $ABC$ относительно $D$.

Итак, расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равно:

Ответ:

Расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равно $\frac{2\sqrt{2}}{3}a$.