Упростите выражение sin 90- tg(45° + a) tg(45+3a)

Ответы на вопрос

Отвечает Декало Алёна.

Давайте упростим выражение $\sin(90^\circ) - \tan(45^\circ + a) \cdot \tan(45^\circ + 3a)$ .

Это дает начальное выражение:

1 - \tan(45^\circ + a) \cdot \tan(45^\circ + 3a).

Формула для тангенса суммы углов выглядит так:

\tan(45^\circ + x) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(x)}{1 - \tan(45^\circ) \cdot \tan(x)}.

Подставим $\tan(45^\circ) = 1$ в формулу:

\tan(45^\circ + x) = \frac{1 + \tan(x)}{1 - \tan(x)}.

Теперь применим эту формулу для $\tan(45^\circ + a)$ и $\tan(45^\circ + 3a)$ .

\tan(45^\circ + a) = \frac{1 + \tan(a)}{1 - \tan(a)},

\tan(45^\circ + 3a) = \frac{1 + \tan(3a)}{1 - \tan(3a)}.

Теперь подставим их в исходное выражение:

1 - \left(\frac{1 + \tan(a)}{1 - \tan(a)}\right) \cdot \left(\frac{1 + \tan(3a)}{1 - \tan(3a)}\right).

Выполним умножение дробей:

\frac{(1 + \tan(a))(1 + \tan(3a))}{(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a))}.

Теперь выражение выглядит так:

1 - \frac{(1 + \tan(a))(1 + \tan(3a))}{(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a))}.

Запишем $1$ как дробь с таким же знаменателем:

1 = \frac{(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a))}{(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a))}.

Теперь выражение становится:

\frac{(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a)) - (1 + \tan(a))(1 + \tan(3a))}{(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a))}.

Раскрываем скобки:

(1 - \tan(a))(1 - \tan(3a)) = 1 - \tan(3a) - \tan(a) + \tan(a) \cdot \tan(3a),

(1 + \tan(a))(1 + \tan(3a)) = 1 + \tan(3a) + \tan(a) + \tan(a) \cdot \tan(3a).

Вычтем одно выражение из другого:

\left(1 - \tan(3a) - \tan(a) + \tan(a) \cdot \tan(3a)\right) - \left(1 + \tan(3a) + \tan(a) + \tan(a) \cdot \tan(3a)\right).

После упрощения:

-2\tan(3a) - 2\tan(a).

Теперь у нас в числителе:

-2(\tan(3a) + \tan(a)).

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Ответы на вопрос