Экзамен включает 30 заданий. За каждое верно выполненное задание ученик получает 3 балла, за
неверный ответ снимают 2 балла, задание без ответа не приносит баллы и не отнимает их. Какое
максимальное количество ошибок мог допустить ученик, если в итоге он получил 44 балла?

Для того чтобы определить, какое максимальное количество ошибок мог допустить ученик, давайте разберём задачу по шагам.

У нас есть 30 заданий, за каждое правильно выполненное задание ученик получает 3 балла. Если ответ неверный, снимается 2 балла. Если задание не отвечено, баллы не начисляются и не отнимаются. Также нам известно, что итоговый результат ученика составляет 44 балла.

Шаг 1: Обозначим количество правильных, неправильных и неотвеченных заданий

Предположим, что:

• $x$ — количество правильных ответов,
• $y$ — количество неправильных ответов,
• $z$ — количество неотвеченных заданий.

Тогда, согласно условиям задачи, выполняются следующие равенства:

1. Общее количество заданий: $x + y + z = 30$.
2. Баллы за правильные ответы: $3x$.
3. Баллы за неправильные ответы: $-2y$.
4. Баллы за неотвеченные задания: $0$ (они не влияют на итоговый результат).

Итак, итоговый балл ученика — это сумма баллов за правильные и неправильные ответы:

Шаг 2: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $x + y + z = 30$,
2. $3x - 2y = 44$.

Для упрощения решения выразим $z$ через $x$ и $y$ из первого уравнения:

Но для нахождения максимального числа ошибок нам нужно решить только второе уравнение, так как нас интересует только количество ошибок, то есть $y$.

Шаг 3: Найдем максимальное количество ошибок

Теперь будем решать уравнение $3x - 2y = 44$ относительно $y$.

Перепишем его так:

Чтобы $y$ было целым числом, $3x - 44$ должно быть четным. Для этого $3x$ должно быть четным, а значит, $x$ должно быть чётным. Проверим возможные значения $x$.

• Если $x = 14$, то подставляем в уравнение:

  $$y = \frac{3(14) - 44}{2} = \frac{42 - 44}{2} = \frac{-2}{2} = -1.$$

  Это не подходит, так как количество ошибок не может быть отрицательным.

• Если $x = 16$, то подставляем в уравнение:

  $$y = \frac{3(16) - 44}{2} = \frac{48 - 44}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

  Получаем $y = 2$, что является целым числом и подходит.

Теперь подставим $x = 16$ и $y = 2$ в первое уравнение:

Шаг 4: Ответ

Таким образом, максимальное количество ошибок, которые мог допустить ученик, равно 2.