В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные шары будут иметь номера I, 4, 5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

Решение

Дано:

• Урна содержит 5 шаров с номерами: 1, 2, 3, 4, 5.
• Извлекаются 3 шара без возвращения.

Нужно найти вероятности двух событий:
а) Последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5.
б) Извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5, но порядок их появления неважен.

Часть а: Последовательный порядок (1, 4, 5)

При решении этого пункта важно учитывать, что порядок извлечения фиксирован (1 → 4 → 5).

1. Общее число возможных исходов
   Поскольку из 5 шаров извлекаются 3 без возвращения, общее число всевозможных исходов равно числу перестановок 3 шаров из 5:

2. Число благоприятных исходов
   Чтобы шары с номерами 1, 4 и 5 появились именно в этом порядке:

• Сначала должен быть извлечен шар с номером 1. Вероятность этого равна $\frac{1}{5}$, так как шары равновероятны.
• Затем шар с номером 4. После извлечения шара 1 в урне остаются 4 шара, и вероятность извлечь шар 4 равна $\frac{1}{4}$.
• Наконец, шар с номером 5. После извлечения двух шаров остаются 3 шара, и вероятность извлечь шар 5 равна $\frac{1}{3}$.

Итоговая вероятность равна произведению этих вероятностей:

Часть б: Любой порядок (1, 4, 5)

Здесь важно только, чтобы в извлеченных шарах присутствовали 1, 4 и 5, а порядок их появления неважен.

1. Общее число возможных исходов
   Как и в пункте а, общее число возможных исходов равно $P_5^3 = 60$.

2. Число благоприятных исходов
   Число благоприятных исходов определяется количеством перестановок шаров 1, 4 и 5 среди извлекаемых шаров. Поскольку порядок неважен, выбираем комбинации 3 шаров из 5:

Однако каждый из этих благоприятных исходов может появляться в любом порядке. Для учета всех перестановок:

3. Вероятность
   Вероятность извлечения шаров с номерами 1, 4 и 5 независимо от порядка: