В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD от­ме­че­на точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC . От­рез­ки BD и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K . Най­ди­те BK если BD = 18. подробно пожалуйста.

Задача состоит в том, чтобы найти длину отрезка $BK$, если в параллелограмме $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $BC$, а отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$, при этом известно, что $BD = 18$.

Шаг 1: Используем свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. То есть, например, $AB = CD$, $AD = BC$. Это нам поможет позже при анализе фигуры.

Точка $M$ — середина стороны $BC$, значит, отрезок $BM = MC$.

Шаг 2: Применяем теорему о пересечении отрезков

Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Это можно интерпретировать как задачу на деление отрезков при их пересечении. Существует важное свойство, известное как теорема о пересечении двух отрезков, которое в данном случае гласит, что отрезки, соединяющие вершины параллелограмма с точками, делящими его стороны пополам, делятся на определенные пропорции.

Теорема Гаусса о точке пересечения двух диагоналей параллелограмма гласит, что если точка пересечения делит одну из диагоналей, то она делит и другую диагональ в той же пропорции.

Шаг 3: Разбор задачи с учетом пропорций

В данной задаче точка $K$ делит отрезок $BD$ на два отрезка, и нужно найти длину $BK$. Сначала заметим, что точки $B$, $D$, $A$ и $M$ лежат в параллелограмме, и точка $M$ делит сторону $BC$ пополам. Из-за этого мы можем воспользоваться свойством деления отрезков при пересечении:

Так как $M$ — середина $BC$, и $BD$ пересекает $AM$ в точке $K$, то по теореме о пересечении отрезков получаем следующее соотношение:

Поскольку $M$ — середина $BC$, то $BM = MC$, а значит, $BM = MD$. Следовательно, получаем:

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $BD$ пополам.

Шаг 4: Вычисление длины $BK$

Теперь, зная, что точка $K$ делит отрезок $BD$ пополам, можно просто найти длину $BK$. Поскольку $BD = 18$, то:

Ответ: $BK = 9$.