По реке плывёт катер, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 20 км, а против 16 км, затратив на весь путь 1 час. Какова собственная скорость катера? (36 км/ч?)

Для решения этой задачи будем использовать формулы для скорости и времени, основываясь на том, что собственная скорость катера и скорость течения реки влияют на его общую скорость в зависимости от того, плывёт ли он по течению или против него.

Обозначим:

• $v_k$ — собственную скорость катера (в км/ч).
• $v_t = 2$ км/ч — скорость течения реки.
• Время, затраченное на путь, равно 1 час.

Шаг 1: Уравнение для пути по течению

Когда катер плывёт по течению, его скорость относительно берега будет равна $v_k + v_t$, то есть $v_k + 2$. Время, которое он затрачивает на преодоление 20 км по течению, можно выразить через скорость и расстояние как:

Шаг 2: Уравнение для пути против течения

Когда катер плывёт против течения, его скорость относительно берега будет равна $v_k - v_t$, то есть $v_k - 2$. Время, которое он затрачивает на преодоление 16 км против течения, можно выразить как:

Шаг 3: Составим уравнение для общего времени

Общее время на весь путь (по течению и против течения) равно 1 час, то есть:

Подставляем выражения для $t_1$ и $t_2$:

Шаг 4: Решаем уравнение

Теперь решим это уравнение для $v_k$.

1. Умножим обе части уравнения на $(v_k + 2)(v_k - 2)$ — это произведение знаменателей:

2. Раскроем скобки:

3. Переносим все члены в одну сторону:

4. Решаем это квадратное уравнение с помощью формулы:

Шаг 5: Находим два возможных значения для $v_k$

1. $v_k = \frac{36 + 35.78}{2} = \frac{71.78}{2} \approx 35.89$ км/ч.
2. $v_k = \frac{36 - 35.78}{2} = \frac{0.22}{2} \approx 0.11$