Теплоход прошёл 30 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на путь по течению на 30 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Задача требует нахождения собственной скорости теплохода, если известны расстояния и время, затраченное на пути против течения и по течению реки.

Обозначим:

• $v$ — собственную скорость теплохода (км/ч).
• Скорость течения реки составляет $1$ км/ч.
• Время, затраченное теплоходом на путь против течения, на 30 минут больше, чем на путь по течению.

1. Путь против течения.
   Когда теплоход движется против течения, его скорость относительно земли будет равна $v - 1$ км/ч (поскольку скорость течения реки $1$ км/ч замедляет движение). Время, затраченное на путь против течения, можно выразить через формулу $t = \frac{s}{v}$, где $s$ — расстояние, а $v$ — скорость. Для пути против течения:

2. Путь по течению.
   Когда теплоход движется по течению, его скорость относительно земли будет равна $v + 1$ км/ч (поскольку скорость течения помогает его движению). Время, затраченное на путь по течению, будет:

3. Разница во времени.
   Согласно условию задачи, время, затраченное на путь против течения, на 30 минут больше, чем время на путь по течению. 30 минут — это $\frac{1}{2}$ часа. Поэтому можем записать уравнение:

4. Решение уравнения.
   Теперь решим это уравнение для $v$.

• Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

• Переносим 1 в правую часть:

• Перемножим крест-накрест:

• Упростим уравнение:

5. Решение квадратного уравнения.
   Теперь решим квадратное уравнение $v^2 - 28v - 93 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

• Получаем два возможных значения для