Выписаны первые несколько чисел геометрической прогрессии :-1024; -256; -64; найдите сумму первых 5 её членов

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии необходимо сначала разобраться с её параметрами. Рассмотрим последовательность чисел: -1024, -256, -64. Это — первые три члена прогрессии.

1. Нахождение знаменателя прогрессии (q): Геометрическая прогрессия характеризуется постоянным отношением между любыми двумя последовательными членами. Это отношение называется знаменателем прогрессии $q$.

   Чтобы найти $q$, делим второй член на первый:

   $$q = \frac{-256}{-1024} = \frac{1}{4}$$

   Поскольку отношение между числами постоянное, то знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1}{4}$.

2. Нахождение суммы первых 5 членов: Сумма $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

   $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

   где:

   • $a_1$ — первый член прогрессии (в данном случае $a_1 = -1024$),
   • $q$ — знаменатель прогрессии (в данном случае $q = \frac{1}{4}$),
   • $n$ — количество членов, которые нужно сложить (в данном случае $n = 5$).

   Подставляем данные в формулу:

   $$S_5 = -1024 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^5}{1 - \frac{1}{4}} = -1024 \cdot \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{3}{4}}$$

   Упростим выражение:

   $$S_5 = -1024 \cdot \frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{4}} = -1024 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot \frac{4}{3}$$

   Сократим $1024$ в числителе и знаменателе:

   $$S_5 = -1 \cdot 1023 \cdot \frac{4}{3} = -1023 \cdot \frac{4}{3}$$ $$S_5 = -1364$$

Ответ: Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна $-1364$.