Антон задумал двузначное число.Затем он нашел сумму цифр этого числа и произведение цифр этого числа, записал сумму и произведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 2110. Какое число задумал Антон? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Для того чтобы решить задачу, начнем с того, что обозначим двузначное число как $\overline{ab}$, где $a$ — десятки, а $b$ — единицы числа. Тогда саму сумму и произведение цифр можно выразить как:

• Сумма цифр числа: $S = a + b$,
• Произведение цифр числа: $P = a \cdot b$.

Теперь, согласно условию задачи, Антон записал сумму и произведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 2110. То есть, мы имеем два возможных варианта:

1. $10 \cdot S + P = 2110$ (сначала сумма, потом произведение),
2. $10 \cdot P + S = 2110$ (сначала произведение, потом сумма).

Давайте рассмотрим каждый вариант.

1. Вариант 1: $10 \cdot S + P = 2110$

Подставим в это уравнение выражения для суммы и произведения:

Раскроем скобки и получим:

Теперь пробуем подставить разные значения для $a$ и $b$, чтобы найти такие, которые удовлетворяют этому уравнению. Попробуем несколько значений для $a$.

2. Вариант 2: $10 \cdot P + S = 2110$

Теперь подставим во второй вариант:

Раскроем скобки:

Таким образом, мы должны проверить оба варианта уравнений для значений $a$ и $b$, которые могут быть целыми числами от 1 до 9.