Основание трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 20, а косинус угла между ней и одним из оснований равен √13 делёное на 7. найдите площадь трапеции

Для нахождения площади трапеции нужно использовать формулу:

где:

• $a$ и $b$ — основания трапеции,
• $h$ — высота трапеции.

В нашем случае основания $a = 7$ и $b = 42$, одна из боковых сторон $c = 20$, а косинус угла между боковой стороной и одним из оснований равен $\cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{7}$.

1. Нахождение высоты трапеции:

   Рассмотрим одну из боковых сторон трапеции. Пусть угол между боковой стороной и основанием $a = 7$ будет $\theta$. Высоту трапеции можно найти с помощью формулы для высоты через боковую сторону и косинус угла:

   $$h = c \cdot \sin \theta$$

   Однако для того, чтобы найти синус угла $\theta$, нужно использовать тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

   Подставим $\cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{7}$:

   $$\sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{\sqrt{13}}{7} \right)^2 = 1 - \frac{13}{49} = \frac{36}{49}$$

   Таким образом:

   $$\sin \theta = \frac{6}{7}$$

   Теперь, используя это значение, можем найти высоту $h$:

   $$h = 20 \cdot \frac{6}{7} = \frac{120}{7}$$

2. Нахождение площади трапеции:

   Теперь, когда мы знаем высоту, можно найти площадь:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (7 + 42) \cdot \frac{120}{7}$$

   Упростим выражение:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot \frac{120}{7} = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot 17.14 \approx 49 \cdot 8.57 = 419.43$$

Ответ: площадь трапеции примерно равна 419.43 квадратных единиц.