На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=40∘. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги.

Чтобы найти длину большей дуги, давайте разберемся, что дано:

1. На окружности с центром в точке O есть две точки A и B.
2. Угол ∠AOB = 40° — это центральный угол, образованный радиусами OA и OB.
3. Длина меньшей дуги AB = 50 единиц.

Теперь, шаг за шагом:

1. Общая длина окружности. Окружность делится на две дуги: меньшую и большую. Площадь (или длина) полной окружности можно найти по формуле:

   $$C = 2\pi R$$

   где $R$ — радиус окружности. Чтобы найти длину большей дуги, нам нужно сначала выяснить радиус окружности.

2. Длина меньшей дуги. Длина меньшей дуги AB пропорциональна углу ∠AOB. Площадь дуги определяется как:

   $$L_{\text{меньшей}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot C$$

   где $\theta = 40^\circ$ — угол, а $C = 2\pi R$ — длина окружности.

   Из этого получаем:

   $$L_{\text{меньшей}} = \frac{40^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R$$

   У нас есть информация, что длина меньшей дуги AB равна 50 единиц. То есть:

   $$50 = \frac{40^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R$$

   Упростим это:

   $$50 = \frac{1}{9} \cdot 2\pi R$$

   Умножим обе стороны на 9:

   $$450 = 2\pi R$$

   Разделим обе стороны на $2\pi$:

   $$R = \frac{450}{2\pi} \approx \frac{450}{6.28} \approx 71.65$$

   Так что радиус окружности $R \approx 71.65$ единиц.

3. Длина всей окружности. Теперь, зная радиус, можем вычислить общую длину окружности:

   $$C = 2\pi \cdot 71.65 \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 71.65 \approx 450 \text{ единиц}$$

4. Длина большей дуги. Длина всей окружности равна 450 единиц. Меньшая дуга составляет 40° (или $\frac{40^\circ}{360^\circ}$ всей окружности), и она равна 50 единиц. Следовательно, длина большей дуги будет оставшейся частью окружности:

   $$L_{\text{большей}} = C - L_{\text{меньшей}} = 450 - 50 = 400 \text{ единиц}.$$

Таким образом, длина большей дуги AB составляет 400 единиц.