На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ = 80°. Длина меньшей дуги АВ равна 58. Найдите длину большей дуги АВ

Давайте разберемся, как решить задачу.

Итак, у нас есть окружность с центром в точке О. Точки А и В лежат на окружности, и угол АОВ равен 80°. Это угол между радиусами, проведенными в точки А и В.

1. Нахождение длины всей окружности: Угол АОВ равен 80°, что является центральным углом. Он определяет длину дуги АВ, соответствующую меньшей дуге, которая имеет длину 58.

   Чтобы понять, как длина меньшей дуги связана с углом, вспомним, что длина дуги на окружности пропорциональна углу, который она опирает. То есть, длина дуги пропорциональна отношению угла дуги к полному углу окружности (360°).

   Пусть длина всей окружности равна $L$. Тогда, по формуле длины дуги:

   $$\frac{80°}{360°} = \frac{58}{L}$$

   Решим это уравнение относительно $L$ — длины всей окружности:

   $$L = \frac{360° \times 58}{80°} = \frac{20880}{80} = 261$$

   То есть, длина всей окружности равна 261.

2. Нахождение длины большей дуги: Вся окружность делится на две дуги: меньшую, которая соответствует углу 80°, и большую, которая соответствует углу 360° - 80° = 280°.

   Теперь можем найти длину большей дуги, используя ту же пропорциональность:

   $$\frac{280°}{360°} = \frac{L_{\text{большая}}}{L}$$

   где $L_{\text{большая}}$ — длина большей дуги. Подставляем значения:

   $$\frac{280°}{360°} = \frac{L_{\text{большая}}}{261}$$

   Решаем относительно $L_{\text{большая}}$:

   $$L_{\text{большая}} = \frac{280° \times 261}{360°} = \frac{73280}{360} \approx 203.56$$

Ответ: длина большей дуги АВ примерно равна 203.56.