В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $\sqrt{3}$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1C_1D_1$.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $\sqrt{3}$. Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1C_1D$.

Шаг 1: Координаты точек

Примем точку $A$ за начало координат $(0,0,0)$ и расположим куб в декартовой системе координат следующим образом:

• $A(0,0,0)$,
• $B(\sqrt{3},0,0)$,
• $C(\sqrt{3},\sqrt{3},0)$,
• $D(0,\sqrt{3},0)$,
• $A_1(0,0,\sqrt{3})$,
• $B_1(\sqrt{3},0,\sqrt{3})$,
• $C_1(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})$,
• $D_1(0,\sqrt{3},\sqrt{3})$.

Теперь найдем уравнение плоскости $A_1C_1D$.

Шаг 2: Уравнение плоскости

Плоскость проходит через три точки:

• $A_1(0,0,\sqrt{3})$,
• $C_1(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})$,
• $D(0,\sqrt{3},0)$.

Вектор $\overrightarrow{A_1C_1}$ находим как:

Вектор $\overrightarrow{A_1D}$ находим как: