Найдите значение $a$, если прямые, заданные уравнениями $y - a^2x - 1 = 0$ и $y - x - a = 0$ в прямоугольной системе координат $Oxy$, не имеют общих точек.

Рассмотрим систему уравнений:

Шаг 1: Выразим $y$ из обоих уравнений

Из первого уравнения:

Из второго уравнения:

Шаг 2: Приравняем выражения для $y$

Так как оба уравнения задают $y$, приравняем их:

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Перенесем все в левую часть:

Вынесем $x$ за скобки:

Шаг 4: Найдём условия, при которых нет решений

Чтобы система не имела решений, уравнение $x(a^2 - 1) = a - 1$ не должно иметь решений. Это возможно в двух случаях:

1. Если коэффициент при $x$ равен нулю, но свободный член не равен нулю. То есть:

   $$a^2 - 1 = 0, \quad a - 1 \neq 0$$

   Решим $a^2 - 1 = 0$:

   $$a^2 = 1$$ $$a = \pm 1$$

   Проверим условие $a - 1 \neq 0$:

   • При $a = 1$: $a - 1 = 0$ (не подходит, так как в этом случае уравнение превращается в тождество $0 = 0$, то есть оно имеет бесконечно много решений).
   • При $a = -1$: $a - 1 = -2 \neq 0$ (условие выполняется, то есть решения нет).

Ответ

При $a = -1$ система уравнений не имеет общих решений.