При каком значении переменной d угол между векторами равен 45°, если m{1; 4} и n{d; 3}?

Чтобы найти значение переменной $d$, при котором угол между векторами $\mathbf{m} = (1, 4)$ и $\mathbf{n} = (d, 3)$ равен 45°, нужно использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

где:

• $\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\mathbf{m}|$ и $|\mathbf{n}|$ — длины (модули) векторов $\mathbf{m}$ и $\mathbf{n}$,
• $\theta$ — угол между векторами, который в нашем случае равен 45°.

Шаг 1: Вычислим скалярное произведение $\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}$

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{m} = (m_1, m_2)$ и $\mathbf{n} = (n_1, n_2)$ рассчитывается по формуле:

Подставим значения:

Шаг 2: Вычислим длины векторов $|\mathbf{m}|$ и $|\mathbf{n}|$

Длина (модуль) вектора $\mathbf{m} = (m_1, m_2)$ вычисляется по формуле:

Для вектора $\mathbf{m} = (1, 4)$:

Для вектора $\mathbf{n} = (d, 3)$:

Шаг 3: Используем формулу для косинуса угла

Поскольку угол $\theta = 45^\circ$, то $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставляем это значение в формулу для косинуса угла:

Шаг 4: Решим это уравнение

1. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9}$:

2. Упростим левую часть: