Решите уравнение x(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)

Давайте решим уравнение $x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1)$.

1. Раскроем скобки с левой стороны:

   $$x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$$

   Теперь у нас уравнение:

   $$x^3 + 2x^2 + x = 2(x + 1)$$

2. Раскроем скобки с правой стороны:

   $$2(x + 1) = 2x + 2$$

   Теперь у нас уравнение:

   $$x^3 + 2x^2 + x = 2x + 2$$

3. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

   $$x^3 + 2x^2 + x - 2x - 2 = 0$$

   Упростим выражение:

   $$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$$

4. Попробуем найти корни уравнения методом подбора. Начнем с того, что подставим значения $x = 1$, $x = -1$ и другие возможные простые значения.

   Подставим $x = 1$:

   $$1^3 + 2(1)^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$$

   Значит, $x = 1$ — корень уравнения.

5. Теперь разложим многочлен $x^3 + 2x^2 - x - 2$ на множители, зная, что $x = 1$ — один из корней. Разделим многочлен на $x - 1$.

   Для этого используем деление многочленов. Разделим $x^3 + 2x^2 - x - 2$ на $x - 1$. Делим по аналогии с делением многочленов в школе:

   При делении мы получаем:

   $$x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2)$$

6. Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = 3$, $c = 2$.

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm 1}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

7. Итак, у нас есть три корня уравнения:

   $$x = 1, \, x = -1, \, x = -2$$