Решить уравнение 3^2x-2*3^x-3=0

Для того чтобы решить уравнение $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$, давайте попробуем преобразовать его и сделать более удобным для решения.

1. Обозначим: Пусть $y = 3^x$. Это обозначение поможет упростить уравнение, так как $3^{2x}$ можно выразить как $(3^x)^2 = y^2$.

Теперь уравнение принимает вид:

2. Решим квадратное уравнение: Это стандартное квадратное уравнение. Мы можем решить его через формулу для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -2$, и $c = -3$. Подставим эти значения:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm 4}{2}$$

3. Найдем корни: У нас получается два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

4. Возвращаемся к переменной $3^x$: Напоминаем, что $y = 3^x$. Рассмотрим каждый из найденных корней.

   • Для $y = 3$:

     $$3^x = 3$$

     Это значит, что $x = 1$, так как $3^1 = 3$.

   • Для $y = -1$:

     $$3^x = -1$$

     Но степень числа 3 не может быть отрицательной для действительных значений $x$, так как $3^x > 0$ для любого $x$. Поэтому это решение не имеет смысла в области действительных чисел.

5. Ответ: Единственное решение уравнения $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$ — это $x = 1$.