Решить уравнение: 2х/(х-1) + 3/(х+1) = (3х+1)/(х²-1)

Давайте решим это уравнение пошагово.

Уравнение:

Шаг 1: Преобразуем правую часть уравнения.

Заметим, что $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, то есть правую часть уравнения можно записать как:

Теперь уравнение примет вид:

Шаг 2: Приводим все дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для левой части уравнения будет $(x-1)(x+1)$. Мы умножим числители и знаменатели каждой из дробь на недостающие множители, чтобы привести их к общему знаменателю:

• Первая дробь: $\frac{2x}{x-1}$ умножаем числитель и знаменатель на $(x+1)$, получаем $\frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$.

• Вторая дробь: $\frac{3}{x+1}$ умножаем числитель и знаменатель на $(x-1)$, получаем $\frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$.

Теперь уравнение выглядит так:

Шаг 3: Объединяем дроби в левой части уравнения.

Теперь, когда у нас общий знаменатель, можно объединить дроби в левой части:

Шаг 4: Убираем общий знаменатель.

Поскольку знаменатели одинаковые, мы можем их исключить, и у нас останется:

Шаг 5: Раскрываем скобки.

Раскроем все скобки на левой части уравнения:

Теперь уравнение примет вид:

Шаг 6: Переносим все термины на одну сторону.

Переносим все термины на левую часть уравнения:

Упростим:

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение.

Теперь решаем квадратное уравнение:

Разделим все на 2:

Теперь решим это уравнение с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

где $a = 1$, $b = 1$, и $c = -2$. Подставляем значения: