Решить уравнение: (х-2)(х²+1)=2(х²+1)

Давайте решим уравнение пошагово.

Итак, у нас есть уравнение:

1. Раскроем скобки с левой стороны:

   Для начала распределим $(x - 2)$ по $(x^2 + 1)$:

   $$(x - 2)(x^2 + 1) = x(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1)$$

   Теперь, раскроем каждое из произведений:

   $$x(x^2 + 1) = x^3 + x$$ $$-2(x^2 + 1) = -2x^2 - 2$$

   Таким образом, левая часть уравнения становится:

   $$x^3 + x - 2x^2 - 2$$

2. Подставим в исходное уравнение:

   Теперь у нас есть:

   $$x^3 + x - 2x^2 - 2 = 2(x^2 + 1)$$

   Раскроем правую часть:

   $$2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$$

   Теперь у нас уравнение:

   $$x^3 + x - 2x^2 - 2 = 2x^2 + 2$$

3. Переносим все члены на одну сторону:

   Переносим все элементы на левую часть, чтобы получить нулевое уравнение:

   $$x^3 + x - 2x^2 - 2 - 2x^2 - 2 = 0$$

   Упростим:

   $$x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0$$

4. Пробуем найти возможные корни уравнения:

   Попробуем методом подбора решить это уравнение. Проверим, может ли какой-либо из целых чисел быть корнем уравнения.

   Подставляем $x = 1$:

   $$(1)^3 - 4(1)^2 + (1) - 4 = 1 - 4 + 1 - 4 = -6 \neq 0$$

   Подставляем $x = -1$:

   $$(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) - 4 = -1 - 4 - 1 - 4 = -10 \neq 0$$

   Подставляем $x = 2$:

   $$(2)^3 - 4(2)^2 + (2) - 4 = 8 - 16 + 2 - 4 = -10 \neq 0$$

   Проверим $x = 4$:

   $$(4)^3 - 4(4)^2 + (4) - 4 = 64 - 64 + 4 - 4 = 0$$

   $x = 4$ — корень уравнения!

5. Делим полином на $x - 4$:

   Чтобы найти остальные корни, разделим $x^3 - 4x^2 + x - 4$ на $x - 4$ методом деления столбиком или synthetic division (синтетическое деление).

   После деления получим:

   $$x^3 - 4x^2 + x - 4 = (x - 4)(x^2 + x + 1)$$

6. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь решим квадратное уравнение:

   $$x^2 + x + 1 = 0$$