Решите уравнение: |2 - x| = |x - 1| + 1

Для того чтобы решить уравнение $|2 - x| = |x - 1| + 1$, давайте рассмотрим все возможные случаи, связанные с модулями.

Модуль выражения $|a|$ означает расстояние числа $a$ от нуля, то есть:

• Если $a \geq 0$, то $|a| = a$.

• Если $a < 0$, то $|a| = -a$.

Для этого уравнения нам нужно рассмотреть несколько случаев, так как модули могут изменяться в зависимости от того, как $x$ сравнивается с 1 и 2.

Разделим на 3 случая:

1. Случай 1: $x \geq 2$

   В этом случае оба выражения в модулях будут положительными:

   • $|2 - x| = x - 2$

   • $|x - 1| = x - 1$

   Подставим эти выражения в уравнение:

   $$x - 2 = (x - 1) + 1$$

   Упростим:

   $$x - 2 = x$$ $$-2 = 0$$

   Это противоречие, следовательно, нет решений в этом случае.

2. Случай 2: $1 \leq x < 2$

   В этом случае:

   • $|2 - x| = 2 - x$

   • $|x - 1| = x - 1$

   Подставим эти выражения в уравнение:

   $$2 - x = (x - 1) + 1$$

   Упростим:

   $$2 - x = x$$ $$2 = 2x$$ $$x = 1$$

   Проверим, подходит ли это решение для данного интервала $1 \leq x < 2$. $x = 1$ действительно подходит, потому что оно входит в этот промежуток.

3. Случай 3: $x < 1$

   В этом случае:

   • $|2 - x| = 2 - x$

   • $|x - 1| = 1 - x$

   Подставим эти выражения в уравнение:

   $$2 - x = (1 - x) + 1$$

   Упростим:

   $$2 - x = 2 - x$$

   Это верное равенство, которое выполняется для всех $x < 1$.

Таким образом, у нас есть два решения:

• $x = 1$, из второго случая.

• $x < 1$, из третьего случая.

Ответ: Решения уравнения: $x \in (-\infty, 1]$.