Решите уравнение \((x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0\).

Чтобы решить уравнение $(x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0$, начнем с введения подстановки для упрощения выражений.

1. Подстановка: Пусть $y = (x+2)^2$. Тогда, $(x+2)^4 = y^2$. Таким образом, уравнение превращается в:

   $$y^2 - 4y - 5 = 0$$

2. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение относительно $y$:

   $$y^2 - 4y - 5 = 0$$

   Используем формулу для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$$

   Это упрощается до:

   $$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$

   Таким образом, у нас два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{или} \quad y = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

3. Возвращаемся к $x$: Напоминаем, что $y = (x+2)^2$, то есть $(x+2)^2 = y$. Рассмотрим оба случая:

   • Если $y = 5$, то $(x+2)^2 = 5$. Из этого следует, что:

     $$x+2 = \pm \sqrt{5}$$

     Таким образом, $x = -2 \pm \sqrt{5}$, то есть:

     $$x = -2 + \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x = -2 - \sqrt{5}$$

   • Если $y = -1$, то $(x+2)^2 = -1$. Однако квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных решений.

4. Ответ: Единственные действительные решения уравнения — это:

   $$x = -2 + \sqrt{5} \quad \text{и} \quad x = -2 - \sqrt{5}$$